Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ，h（x）=2f（x）﹣ax﹣b．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)，且h（x）在[﹣1，1]有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若f（x）為奇函數(shù)，則對(duì)于x∈R有f（﹣x）=﹣f（x）得 ， 化為2x+1+a2﹣x+1=﹣2﹣x+1﹣a2x+1 ， 所以a=﹣1
若f（x）為偶函數(shù)，則對(duì)于x∈R有f（﹣x）=f（x）得 ，
化為2x+1+a2﹣x+1=2﹣x+1+a2x+1 ， 所以a=1
綜上知，當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）為偶函數(shù)；
當(dāng)a≠±1時(shí)，f（x）非奇非偶．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知若f（x）為奇函數(shù)，則a=﹣1．
此時(shí) 在[﹣1，1]有零點(diǎn)，
即有x∈[﹣1，1]滿足方程 ．
由于函數(shù) 在[﹣1，1]單調(diào)遞增，
在x∈[﹣1，1]時(shí)其值域?yàn)? ，
所以 ，
即實(shí)數(shù)b的取值范圍為
【解析】（Ⅰ）由已知中函數(shù)f（x）= ，根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，則對(duì)于x∈R有f（﹣x）=﹣f（x），f（x）為偶函數(shù)，則對(duì)于x∈R有f（﹣x）=f（x），可得結(jié)論；（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)，即a=﹣1，若h（x）在[﹣1，1]有零點(diǎn)，即有x∈[﹣1，1]滿足方程 ，構(gòu)造函數(shù)求出值域，可得答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．