Question

已知圓C₁：x²+y²+2x+2y-8=0與圓C₂：x²+y²-2x+10y-24=0相交于兩點(diǎn)，
（1）求公共弦AB所在的直線方程；
（2）求圓心在直線AB上，且經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓的方程；
（3）求經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）寫出過(guò)兩個(gè)圓的方程圓系方程，令λ=-1即可求出公共弦所在直線方程．
（2）欲求圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓的方程，即求出以線段AB的中點(diǎn)為圓心的圓的方程即可．
（3）經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且面積最小的圓即為以AB為直徑的圓，與（2）的圓是相同的，進(jìn)而確定出所求圓的方程．
解答：解：（1）經(jīng)過(guò)圓C₁：x²+y²+2x+2y-8=0與圓C₂：x²+y²-2x+10y-24=0的公共點(diǎn)的圓系方程為：
x²+y²+2x+2y-8+λ（x²+y²-2x+10y-24）=0
令λ=-1，可得公共弦所在直線方程：x-2y+4=0；
（2）由，
解得或，
∴A，B兩點(diǎn)的（-4，0），（0，2），
其中點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），|AB|=，
故所求圓心為（-2，1），半徑為，
圓的方程為：（x+2）²+（y-1）²=5；
即x²+y²+4x-2y=0．
（3）經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且面積最小的圓即為以AB為直徑的圓，
與（2）的圓是相同的．
則所求圓的方程為：x²+y²+4x-2y=0．
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查圓系方程的有關(guān)知識(shí)，公共弦所在直線方程，考查計(jì)算能力．此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，根據(jù)題意設(shè)出所求圓的方程，找出圓心坐標(biāo)，得出圓心在直線2x+y+4=0上時(shí)面積最小是解本題的關(guān)鍵．