Question

已知f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數．
（1）若f（x）在（-1，1）上單調遞減，且f（1-a）+f（1-2a）＜0．求實數a的取值范圍．
（2）當0＜x＜1時，f（x）=x²+x=1，求f（x）在（-1，1）上的解析式．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數f（x）為奇函數，可將原不等式化為f（1-a）＞f（2a-1），進而結合函數f（x）是定義在（-1，1）上的單調遞減函數，可將原不等式化；
（2）當-1＜x＜0時，0＜-x＜1 故f（-x）=x²-x+1，先求出f（x）的解析式，又f（x）是奇函數，可得f（0）=0，最后分段表示函數．

解答： 22．解：（1）解：∵函數f（x）為奇函數
∴f（1-a）+f（1-2a）＜0可化為f（1-a）＜-f（1-2a），即f（1-a）＜f（2a-1）
又∵函數f（x）是定義在（-1，1）上的單調遞減函數
∴

-1＜1-a＜1 -1＜2a-1＜1 1-a＞2a-1

，解得0＜a≤

2

3

故實數a的取值范圍為（0，

2

3

]
（ 2）當-1＜x＜0時，0＜-x＜1
∴f（-x）=x²-x+1
又f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=x²-x+1，∴f（x）=-x²+x-1
又f（x）是奇函數，∴f（0）=0
所以f（x）的解析式為y=

x2+x+1，0＜x＜1 0，x=0 -x2+x-1，-1＜x＜0

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合，解答中易忽略函數的定義域，而錯解．