Question

4．雙曲線與橢圓$\frac{{y}^{2}}{40}$+$\frac{{x}^{2}}{15}$=1有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P（3，4）在雙曲線的漸近線上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率．

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），依題意，利用橢圓$\frac{{y}^{2}}{40}$+$\frac{{x}^{2}}{15}$=1的方程可求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，即為所求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)P（3，4）在雙曲線的漸近線上，聯(lián)立即可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率．

解答 解：∵橢圓$\frac{{y}^{2}}{40}$+$\frac{{x}^{2}}{15}$=1中a²=40，b²=15，
∴c²=a²-b²=25，
∴其焦點(diǎn)為分別為F₁（0，5），F(xiàn)₂（0，-5），
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），
依題意，m²+n²=25，①
又點(diǎn)P（3，4）在雙曲線的漸近線y=$\frac{m}{n}$x上，
∴4n=3m，②
由①②解得：m=4，n=3．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1．
其離心率為e=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．