Question

已知⊙O：x²+y²=4及點(diǎn)A（1，3），BC為⊙O的任意一條直徑，則

AB

•

AC

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：分類(lèi)討論：當(dāng)直徑BC所在的直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)BC的方程為y=kx，與圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出；當(dāng)直徑BC所在的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，取B（0，-2），C（0，2），利用數(shù)量積即可得出．

解答： 解：如圖所示，
當(dāng)直徑BC所在的直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)BC的方程為y=kx，
B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），不妨是x₁＜x₂．
則

AB

•

AC

=（x₁-1，y₁-3）•（x₂-1，y₂-3）
=（x₁-1）（x₂-1）+（kx₁-3）（kx₂-3）
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9
=（1+k²）x₁x₂-（1+3k）（x₁+x₂）+10，（*）
聯(lián)立

y=kx x2+y2=4

，化為（1+k²）x²-4=0，
∴x₁+x₂=0，x1x2=-

4

1+k2

．
代入（*）可得：

AB

•

AC

=

-4(1+k2)

1+k2

-0+10=6．
當(dāng)直徑BC所在的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，取B（0，-2），C（0，2）．
則

AB

•

AC

=（-1，-5）•（-1，-1）=1+5=6．
綜上可知：

AB

•

AC

=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、直線(xiàn)與圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、分類(lèi)討論思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．