Question

【題目】已知（其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的不等式確定原函數(shù)的增減區(qū)間，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（2）將所要證明的式子變形，建立一個(gè)函數(shù)，求導(dǎo)后再建立一個(gè)新的函數(shù)，再求導(dǎo)．需要用到兩次求導(dǎo),通過(guò)最值確定正負(fù)號(hào)，再來(lái)確定原函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．

（1）當(dāng)時(shí)，，所以，

由得，，得，，

所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

（2）由題意對(duì)于恒成立，

即等價(jià)于對(duì)于恒成立，

設(shè)，則由得，，

當(dāng)0<x<時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)<x時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以，

令，則由得，

0<x<1時(shí),t′(x)>0,t(x)單調(diào)遞增，1<x時(shí),t′(x)<0,t(x)單調(diào)遞減，

所以在時(shí)取得極大值.

所以，當(dāng)，的最小值；

當(dāng)，的最小值，得；

綜上，.