Question

5．已知函數(shù)f（x）=1nx+x，g（x）=6-x．
（1）證明：函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
（2）在（1）的條件下，求該交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在的一個(gè)區(qū)間，使這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）方法一：根據(jù)圖象的交點(diǎn)即是方程的解，轉(zhuǎn)化為方程的解得問(wèn)題即可．方法二，構(gòu)造函數(shù)，求證只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）由（1）知，該零點(diǎn)在區(qū)間（2，3）上，從而利用二分法確定區(qū)間．

解答 解：（1）方法一：∵f（x）=1nx+x，g（x）=6-x
當(dāng)f（x）=g（x），
∴l(xiāng)nx+x=6-x，
即lnx=6-2x，
分別畫(huà)出y=lnx和y=-2x+6的圖象，如圖所示，
由圖象可知，有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以lnx=6-2x只有一個(gè)解，
所以f（x）=g（x）只有一個(gè)解，
所以函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
方法二：f（x）=lnx+x，g（x）=6-x．
h（x）=f（x）-g（x）=lnx+2x-6，
函數(shù)h（x）=lnx+2x-6在其定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，
又∵h(yuǎn)（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0；
∴函數(shù)h（x）有且只有-個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)
（2）由（1）知，該零點(diǎn)在區(qū)間（2，3）上，
f（$\frac{5}{2}$）=ln$\frac{5}{2}$-1＜0，
故該零點(diǎn)在區(qū)間（$\frac{5}{2}$，3）上，
f（$\frac{11}{4}$）=ln$\frac{11}{4}$-$\frac{1}{2}$＞0，
f（$\frac{21}{8}$）=ln$\frac{21}{8}$-$\frac{3}{4}$＞0，
故該零點(diǎn)在區(qū)間（$\frac{20}{8}$，$\frac{21}{8}$）上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷與二分法的應(yīng)用．