Question

已知直線(xiàn)l：y＝x＋m，m∈R.

(1)若以點(diǎn)M(2,0)為圓心的圓與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程；

(2)若直線(xiàn)l關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為l′，問(wèn)直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C：x2＝4y是否相切？說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）(x－2)2＋y2＝8.（2）當(dāng)m＝1時(shí)，直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C相切．

當(dāng)m≠1時(shí)，直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C不相切

【解析】法一：(1)依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，m)．

因?yàn)?/span>MP⊥l，

所以×1＝－1，

解得m＝2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)．

從而圓的半徑r＝|MP|＝＝2.?

故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8.

(2)因?yàn)橹本�(xiàn)l的方程為y＝x＋m，

所以直線(xiàn)l′的方程為y＝－x－m.

由得x2＋4x＋4m＝0.

Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．

①當(dāng)m＝1，即Δ＝0時(shí)，直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C相切；

②當(dāng)m≠1，即Δ≠0時(shí)，直線(xiàn)l′與拋物線(xiàn)C不相切．

綜上，

．

法二(1)設(shè)所求圓的半徑為r，

則圓的方程可設(shè)為(x－2)2＋y2＝r2.

依題意，所求圓與直線(xiàn)l：x－y＋m＝0相切于點(diǎn)P(0，m)，

則解得

所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8.

(2)同法一．