Question

證明2sin⁴x＋sin²2x＋5cos⁴x－cos4x－cos2x＝2(1＋cos²x)．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：用倍角公式將角統(tǒng)一成單角x， 　　左邊＝2sin4x＋3sin2xcos2x＋5cos4x－(2cos22x－1)－(2cos2x－1)＝2sin4x＋3sin2xcos2x＋5cos4x－cos22x＋＋－cos2x＝2sin4x＋3sin2xcos2x＋5cos4x－(2cos2x－1)2＋1－cos2x＝2sin4x＋3sin2xcos2x＋cos4x＋3cos2x＝(2sin2x＋cos2x)(sin2x＋cos2x)＋3cos2x＝2＋2cos2x＝右邊． 　　∴原式成立． 　　證法2：用半角公式降次，角統(tǒng)一為2x， 　　左邊＝2()2＋(1－cos22x)＋5()2－(2cos22x－1)－cos2x＝3＋cos2x． 　　右邊＝2(1＋)＝3＋cos2x， 　　∴左邊＝右邊． 　　∴原式成立． 　　思路分析：本題主要考查三角恒等式的證明問題，由于左邊是單角、二倍角、四倍角的三角函數(shù)，右邊是單角的三角函數(shù)；考慮用倍角公式，統(tǒng)一化為單角的三角函數(shù)；也可根據(jù)單角的三角函數(shù)是二次式，用半角公式降冪，統(tǒng)一化為二倍角的三角函數(shù)．

提示：

證明過程中要盯住結(jié)果采取降次升(角的)倍、升冪降(角的)倍等措施，注意升冪公式與降冪公式的特點，不能混淆．