Question

12．三角形ABC中，BC=4，且sinAcotB+cosA=$\sqrt{3}$，則三角形ABC面積最大值為4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡已知條件，推出邊長關(guān)系，然后表示三角形的面積，求出最值．

解答 解：三角形ABC中，sinAcotB+cosA=$\sqrt{3}$，
可得：$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinB}=\sqrt{3}$，
即$\frac{sinC}{sinB}=\sqrt{3}$，由正弦定理可得：c=$\sqrt{3}b$．
BC=4，可得a=4．
由余弦定理得：（$\sqrt{3}$b）²=a²+b²-4a•bcosC，
即2b²+16bcosC-16=0，即b²+8bcosC-8=0
∴cosC=$\frac{1}-\frac{8}$，
∴sin²C=1-cos²C=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{^{2}}-\frac{^{2}}{64}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$b•asinC=$\frac{1}{2}$×4bsinC=2bsinC，
∴（S_△ABC）²=4b²sin²C=4b²（$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{^{2}}-\frac{^{2}}{64}$）=5b²-4-$\frac{1}{16}$b⁴=96-$\frac{1}{16}$（b²-40）²．
當(dāng)b²=40，即b=2$\sqrt{10}$時(shí)，三角形ABC面積取得最大值∴（S_△ABC）²_max=96，
∴三角形ABC的面積的最大值為4$\sqrt{6}$．
故答案為：4$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，著重考查轉(zhuǎn)化思想與二次函數(shù)的配方法，求得面積的表達(dá)式是關(guān)鍵，屬于難題．