Question

【題目】已知函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點(diǎn)，且.

（1）證明： ；

（2）證明： ；（其中為的導(dǎo)函數(shù)）

（3）設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，且△ABC為等邊三角形，記，求的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：(1)討論a的符號(hào),判斷的單調(diào)性,計(jì)算的極值,根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出的極小值為負(fù)數(shù),列出不等式解出a;

(2)計(jì)算,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷的符號(hào)即可;

(3)用表示出P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列方程化簡(jiǎn)即可求出t和a的關(guān)系,再計(jì)算的值.

試題解析：（1）∵ ，

若，則，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，這與題設(shè)矛盾.

，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

.

（2）∵，∴兩式相減得.

記，則，

設(shè)則是單調(diào)減函數(shù)，

則有，而.

（3）由得，

設(shè)，在等邊三角形ABC中，易知，

由等邊三角形性質(zhì)知，

即，

，

∵，

，

，又∵，

.