Question

【題目】試比較nn＋1與(n＋1)n(n∈N*)的大小，分別取n＝1,2,3,4,5加以試驗，根據(jù)試驗結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論．

Answer 1

【答案】答案見解析

【解析】試題分析：本題考査的知識點是歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法,可以取 ，列出與的前項，然后分別比較其大小，然后由歸納推理猜想出一個一般性的結(jié)論，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，檢驗時等式成立，假設(shè)時命題成立，證明時命題也成立即可.

試題解析：當n＝1時，nn＋1＝1，(n＋1)n＝2，此時，nn＋1＜(n＋1)n，

當n＝2時，nn＋1＝8，(n＋1)n＝9，此時，nn＋1＜(n＋1)n，

當n＝3時，nn＋1＝81，(n＋1)n＝64，此時，nn＋1＞(n＋1)n，

當n＝4時，nn＋1＝1 024，(n＋1)n＝625，此時，nn＋1＞(n＋1)n，

根據(jù)上述結(jié)論，我們猜想：當n≥3(n∈N*)時，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．

證明：①當n＝3時，nn＋1＝34＝81＞(n＋1)n＝43＝64，

即nn＋1＞(n＋1)n成立；

②假設(shè)當n＝k時，kk＋1＞(k＋1)k成立，即＞1，

則當n＝k＋1時，＝(k＋1)()k＋1＞(k＋1)()k＋1＝＞1，

即(k＋1)k＋2＞(k＋2)k＋1成立，即當n＝k＋1時，猜想也成立，

∴當n≥3(n∈N*)時，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．