Question

19．已知四棱錐A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點G，連接FG、BG，根據三角形中位線定理，得到四邊形FGBE為平行四邊形，進而得到EF∥BG，再結合線面平行的判定定理得到EF∥面ABC；
（Ⅱ）證明BG⊥面ADC，可得EF⊥面ADC，即可求出三棱錐E-ACD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：取AC中點G，連結FG、BG
∵F，G分別是AD，AC的中點，∴FG∥CD，且FG=$\frac{1}{2}$DC=1．
∵BE∥CD∴FG與BE平行且相等，∴EF∥BG． 
∵EF?平面ABC，BG?平面ABC，
∴EF∥面ABC…（6分）
（Ⅱ）解：∵△ABC為等邊三角形∴BG⊥AC，
又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC∴DC⊥BG，
∴BG垂直于面ADC的兩條相交直線AC，DC，∴BG⊥面ADC…（9分）
∵EF∥BG，∴EF⊥面ADC，
連結EC，三棱錐E-ACD的體積V=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$…．（12分）

點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，其中熟練掌握空間線面平行或垂直的判定、性質、定義、幾何特征是解答此類問題的關鍵．