如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4.
(1)求弦BD的長;
(2)設(shè)點(diǎn)P是弧BCD上的一動點(diǎn)(不與B,D重合)分別以PB,PD為一邊作正三角形PBE、正三角形PDF,求這兩個(gè)正三角形面積和的取值范圍.
分析:(1)由余弦定理,在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD,在△CDB中 BD2=BC2+CD2-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
結(jié)合cos∠BCD=-cos∠BAD 可求∠BAD,代入可求BD
(2)設(shè)∠PBD=θ,θ∈0,120°),由
PB
sin(120°-θ)
=
PD
sinθ
=
2
7
sin60°
可表示三角形的面積之和y=
28
3
3
[sin2θ+sin2(120°-θ)]

=
14
3
3
[2+sin(2θ-30°)]
,結(jié)合sin(2θ-30°)∈(-
1
2
,1]
可求y得范圍
解答:解:(1)由余弦定理,在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD
在△CDB中 BD2=BC2+CD2-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
∴20-16cos∠BAD=52-48cos∠BCD
∵cos∠BCD=-cos∠BAD∴64cos∠BAD=-32,cos∠BAD=-
1
2

∴∠BAD=120°
代入上式可得,BD2=20-16×(-
1
2
)=28

DB=2
7
(6分)
(2)設(shè)∠PBD=θ,θ∈0,120°)
PB
sin(120°-θ)
=
PD
sinθ
=
2
7
sin60°

y=
28
3
3
[sin2θ+sin2(120°-θ)]
(8分)
=
14
3
3
[2+sin(2θ-30°)]
(10分)
sin(2θ-30°)∈(-
1
2
,1]

y∈(7
3
,14
3
]
(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)的最值求解中的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力.屬于知識的簡單綜合.
練習(xí)冊系列答案
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3

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(Ⅱ)記AC=x,V(x)表示三棱錐A-CBE的體積,求函數(shù)V(x)的解析式及最大值.

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如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線相交于點(diǎn)P,對角線ACBD相交于點(diǎn)Q,則圖中相似三角形共有

[  ]

A4

B2

C5

D3

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