Question

3．在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)．若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{33}{32}$，則AB的長(zhǎng)為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由條件并結(jié)合圖形可得到$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，這樣代入$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出$-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|+1=\frac{33}{32}$，解該方程即可求出AB的長(zhǎng)．

解答 解：根據(jù)條件：
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}）$
=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•（-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$
=$-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|+1$
=$\frac{33}{32}$；
∴$16|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-8|\overrightarrow{AB}|+1=0$；
解得$|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，向量加法、數(shù)乘的幾何意義，相等向量和相反向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算．