Question

【題目】在梯形ABCD中，DC∥AB，DC⊥CB，E是AB的中點(diǎn)，且AB=2BC=2CD=4（如圖所示），將△ADE沿DE翻折，使AB=2（如圖所示），F是線段AD上一點(diǎn)，且AF=2DF．

（Ⅰ）求四棱錐A-BCDE的體積；

（Ⅱ）在線段BE上是否存在一點(diǎn)G，使EF∥平面ACG？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)G的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）線段BE上存在一點(diǎn)G，G是BE上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，使EF∥平面ACG．

【解析】

（Ⅰ）取BE中點(diǎn)O，連結(jié)AO，證明AO⊥平面BCDE，即可計(jì)算四棱錐A-BCDE的體積。

（Ⅱ）過F作FH∥DC，交AC于H，在EB上取EG=FH，連結(jié)GH，證明FHEG，即可證明EF∥，問題得解。

解：（Ⅰ）∵在梯形ABCD中，DC∥AB，DC⊥CB，E是AB的中點(diǎn)，AB=2BC=2CD=4（如圖1所示），

將△ADE沿DE翻折，使AB=2（如圖2所示），

,∴平面ABE⊥

∴平面ABE⊥平面BCDE，四邊形BCDE是以2為邊長的正方形，

取BE中點(diǎn)O，連結(jié)AO，則AO⊥BE，

∴AO⊥平面BCDE，且AO==，

∴四棱錐A-BCDE的體積V===．

（Ⅱ）過F作FH∥DC，交AC于H，在EB上取EG=FH，連結(jié)GH，

∵F是線段AD上一點(diǎn)，且AF=2DF．

,

∴EG=2GB，即G是BE上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，

此時(shí)，FHEG，∴四邊形GEFH是平行四邊形，∴EF∥GH，

∵EF平面ACG，GH平面ACG，

∴線段BE上存在一點(diǎn)G，G是BE上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，使EF∥平面ACG．