Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，右頂點為A，上頂點為B，已知原點O到直線AB的距離為

6

3

b
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經過點F₁，經過點F₂的直線l與該圓相切，求直線l的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的頂點和截距式方程求出直線AB的方程，化為一般式方程，利用點到直線的距離公式列出方程化簡，再由a、b、c的關系求出離心率的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，設P（x₀，y₀）求出

F1B

、

F1P

的坐標，由以線段PB為直徑的圓經過點F₁得：

F1B

•

F1P

=0，由向量的數(shù)量積運算化簡，結合點P在橢圓列出方程，求出點P的坐標，再求出圓心坐標和半徑，設直線l的方程為y=k（x-c），由直線與圓相切的條件列出方程，求出k的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，A（a，0）、B（0，b），
則直線AB的方程是

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
因為原點O到直線AB的距離為

6

3

b，所以

6

3

b=

|-ab|

a2+b2

，
化簡得，a²=2b²，
又c²=a²-b²，則c²=b²，所以e=

c

a

=

2

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b²=c²，因此橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
設P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c）得，

F1B

=（c，c），

F1P

=（x₀+c，y₀），
因為以線段PB為直徑的圓經過點F₁，所以

F1B

•

F1P

=0，
即（x₀+c）c+y₀c=0，又c≠0，故有x₀+y₀+c=0．①
又點P在橢圓上，則

x02

2c2

+

y02

c2

=1，②
由①和②可得3x²₀+4cx₀=0．
而點P不是橢圓的頂點，故x₀=-

4

3

c．代入①得y₀=

1

3

c，
即點P的坐標為（-

4

3

c，

1

3

c），
設圓的圓心為T（x₁，y₁），則x₁=

- 4 3 c+0

2

=-

2

3

c，y₁=

1 3 c+c

2

=

2

3

c，
所以該圓的半徑r=

(- 2 3 c-0)2+( 2 3 c-c)2

=

5

3

c，
設直線l的斜率為k，依題意設直線l的方程為y=k（x-c），
由l與圓相切，可得

5

3

c=

|k(- 2 3 c)- 2 3 c-kc|

k2+1

，
整理得20k²+20k-1=0，解得k=

-5+ 30

10

或k=

-5- 30

10

．

點評：本題中考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、點與橢圓的位置關系、直線與圓相切問題、點到直線的距離公式、中點坐標公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．