【題目】已知四棱錐，底面為菱形，,為上的點(diǎn)，過(guò)的平面分別交，于點(diǎn)，，且平面．

（1）證明：；

（2）當(dāng)為的中點(diǎn)，，與平面所成的角為，求與平面所成角的正弦值．

【答案】(1)見(jiàn)證明(2)

【解析】

（1）連結(jié)、且，連結(jié)，先證明平面，可得，再利用線面平行的性質(zhì)定理證明，從而可得結(jié)論；（2）利用（1）可證明平面,利用與平面所成的角為求出線段間的等量關(guān)系，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，再利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

（1）

連結(jié)、且，連結(jié)．

因?yàn)椋?/span>為菱形，所以，，

因?yàn)椋?/span>，所以，，

因?yàn)椋?/span>且、平面，

所以，平面，

因?yàn)椋?/span>平面，所以，，

因?yàn)椋?/span>平面，

且平面平面，

所以，，

所以，．

（2）

由（1）知且，

因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn)，

所以，，所以，平面,

所以與平面所成的角為，所以，

所以，，，因?yàn)椋?/span>，所以，.

以，，分別為，，軸，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系

記，所以，，，，，，，，

所以， ，，

記平面的法向量為，所以，即，

令，解得，，所以，，

記與平面所成角為，所以，.

所以，與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)、為曲線上兩點(diǎn)，與的橫坐標(biāo)之和為.

（1）求直線的斜率；

（2）設(shè)弦的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)、分別作拋物線的切線，則兩切線的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線，交拋物線于、兩點(diǎn)，連接、.證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.

（1）當(dāng)時(shí)，求的值域

（2）令，若對(duì)任意都有恒成立，求的最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值及此時(shí)的直角坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)，其中，，為實(shí)常數(shù)

（1）若時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若時(shí)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，當(dāng)時(shí)，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正確的是（ ）

A.沙漏中的細(xì)沙體積為

B.沙漏的體積是

C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

D.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒（）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程，并求其離心率；

（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)點(diǎn)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上（點(diǎn)不在直線上），點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與交于另一點(diǎn)．設(shè)為原點(diǎn)，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】由我國(guó)引領(lǐng)的5G時(shí)代已經(jīng)到來(lái)，5G的發(fā)展將直接帶動(dòng)包括運(yùn)營(yíng)、制造、服務(wù)在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進(jìn)而對(duì)增長(zhǎng)產(chǎn)生直接貢獻(xiàn)，并通過(guò)產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)和波及效應(yīng)，間接帶動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造岀更多的經(jīng)濟(jì)增加值.如圖是某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對(duì)今后幾年的5G經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出所做的預(yù)測(cè).結(jié)合下圖，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.5G的發(fā)展帶動(dòng)今后幾年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出逐年增加

B.設(shè)備制造商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出前期增長(zhǎng)較快，后期放緩

C.設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位

D.信息服務(wù)商與運(yùn)營(yíng)商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢(shì)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】過(guò)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，以，兩點(diǎn)為切點(diǎn)分別作拋物線的切線，，設(shè)與交于點(diǎn).

（1）求；

（2）過(guò)，的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，證明：，并求四邊形面積的最小值.

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