求下列函數(shù)的值域:

    (1)

    (2)

 

答案:
解析:

(1)解法一  不等式,f(x)≤1

    由此得1≤1αx,即αx≥0,其中常數(shù)α0

    所以,原不等式等價于

    所以,當0α1時,所給不等式的解集為


    α≥1,所給不等式的解集為{x|x≥0}。

    解法二  f(x)≤1≤αx1,原不等式等價于

    x[(α21)x2α]≥0       

    x≥                      

    α=1時,的解為x≥O,能滿足。

    α1時。的解為x≥O,或,

    x≥0能使成立,

    =,

    所以α1時,x不能使成立。

    0α1時,的解為0≤x,能使成立。

    綜上,當0α1時,不等式的解集為

    。

    α≥1時,不等式的解集為|x|x≥0}。

    (2)  在區(qū)間[0,+∞)上任取x1,x2,使得x1x2

    f(x1)f(x2)=α(x1x2)

   

    =。

(i)

,

。

    x1x20,

    f(x1)f(x2)0

    即,f(x1)f(x2)

    所以,當α≥1時,函數(shù),f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)。

    (ii)0α1時,在區(qū)間[0,+∞)上存在兩點x1=2x2=,滿足,f(x1)=1,f(x2)=1,即f(x1)=f(x2),所以函數(shù),f(x)在區(qū)間[0,+∞)上不是單調(diào)函數(shù)。

    綜上,當且僅當α≥1時,函數(shù),f(x)在區(qū)間[0,+∞]上是單調(diào)函數(shù)。

 


練習冊系列答案
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