Question

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準線上一點（異于右準線與x軸的交點），設線段FM交橢圓C于點P，已知橢圓C的離心率為$\frac{2}{3}$，點M的橫坐標為$\frac{9}{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若∠FPA為直角，求P點坐標；
（3）設直線PA的斜率為k₁，直線MA的斜率為k₂，求k₁•k₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，準線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{9}{2}$，即可求得a和c的值，則b²=a²-c²=5，即可求得橢圓C的標準方程；
（2）由∠FPA為直角，以AF為直徑的圓的與橢圓相交于P點，設P（x，±$\sqrt{5（1-\frac{{x}^{2}}{9}）}$），求得圓心為O（$\frac{1}{2}$，0）及半徑為$\frac{5}{2}$，根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得a的值，代入求得y的值，即可求得P點坐標；
（3）設點P（x₁，y₁）（-2＜x₁＜3），點M$M（{\frac{9}{2}，{y_2}}）$，由點F、P、M三點共線，求得點M的坐標，$M（{\frac{9}{2}，\frac{{13{y_1}}}{{2（{{x_1}+2}）}}}）$．${k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}-3}}，{k_2}=\frac{{13{y_1}}}{{3（{{x_1}+2}）}}$，則${k_1}•{k_2}=\frac{{-13•\frac{5}{9}（{x_1^2-9}）}}{{3（{{x_1}+2}）（{{x_1}-3}）}}=-\frac{65}{27}•\frac{{{x_1}+3}}{{{x_1}+2}}=-\frac{65}{27}（{1+\frac{1}{{{x_1}+2}}}）$．由此可導出k₁•k₂的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，
準線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{9}{2}$，
解得：a=3，c=2，
由b²=a²-c²=5，
∴求橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$；…（4分）
（2）由∠FPA為直角，
∴以AF為直徑的圓的與橢圓相交于P點，設P（x，±$\sqrt{5（1-\frac{{x}^{2}}{9}）}$），
∴圓心為O（$\frac{1}{2}$，0），半徑為$\frac{5}{2}$，
∴丨PO丨=$\frac{5}{2}$，即$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+5（1-\frac{{x}^{2}}{9}）}$=$\frac{5}{2}$，整理得：4x²-9x-9=0，
解得：x=-$\frac{3}{4}$或x=3（舍去），
∴y=±$\sqrt{5（1-\frac{{x}^{2}}{9}）}$=±$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴P點坐標為：$（{-\frac{3}{4}，±\frac{{5\sqrt{3}}}{4}}）$…（8分）
（3）設點P（x₁，y₁）（-2＜x₁＜3），點$M（{\frac{9}{2}，{y_2}}）$，
∵點F，P，M共線，x₁≠-2，
∴$\frac{y_1}{{{x_1}+2}}=\frac{y_2}{{\frac{13}{2}}}$，即${y_2}=\frac{{13{y_1}}}{{2（{{x_1}+2}）}}$，
∴$M（{\frac{9}{2}，\frac{{13{y_1}}}{{2（{{x_1}+2}）}}}）$，…（10分）
∵${k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}-3}}，{k_2}=\frac{{13{y_1}}}{{3（{{x_1}+2}）}}$，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{y_1}{{{x_1}-3}}•\frac{{13{y_1}}}{{3（{{x_1}+2}）}}=\frac{13y_1^2}{{3（{{x_1}+2}）（{{x_1}-3}）}}$，…（12分）
又∵點P在橢圓C上，
∴$y_1^2=-\frac{5}{9}（{x_1^2-9}）$，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{{-13•\frac{5}{9}（{x_1^2-9}）}}{{3（{{x_1}+2}）（{{x_1}-3}）}}=-\frac{65}{27}•\frac{{{x_1}+3}}{{{x_1}+2}}=-\frac{65}{27}（{1+\frac{1}{{{x_1}+2}}}）$，…（14分）
∵-2＜x₁＜3，
∴${k_1}•{k_2}＜-\frac{26}{9}$，
故k₁•k₂的取值范圍為$（{-∞，-\frac{26}{9}}）$…（16分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線的圓錐曲線的位置關系，考查圓的方程及點到直線的距離公式，直線的斜率公式，考查計算能力，解題時要認真審題，屬于中檔題．