Question

8．記定義在R上的可導函數(shù)y=f（x），如果存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=$\frac{{∫}_{a}^f（x）dx}{b-a}$成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的“平均值點”，那么函數(shù)f（x）=x²-3x在區(qū)間[-2，2]上“平均值點”的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由“平均值點”的定義，結(jié)合定積分的運算，求得f（x₀）=$\frac{4}{3}$，再解二次方程，檢驗所得的根是否屬于[-2，2]，即可判斷個數(shù)．

解答 解：由“平均值點”的定義可得，存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=$\frac{{∫}_{a}^f（x）dx}{b-a}$成立，
即有f（x₀）=$\frac{{∫}_{-2}^{2}（{x}^{2}-3x）dx}{2-（-2）}$=$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²）|${\;}_{-2}^{2}$=$\frac{1}{4}$×[（$\frac{8}{3}$-6）-（-$\frac{8}{3}$-6）]=$\frac{4}{3}$，
即有x₀²-3x₀=$\frac{4}{3}$，
解得x₀=$\frac{3}{2}$±$\frac{\sqrt{129}}{6}$，
則$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{129}}{6}$∉[-2，2]，$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{129}}{6}$∈[-2，2]，
即有在區(qū)間[-2，2]上“平均值點”的個數(shù)為1．
故選A．

點評 本題考查新定義的理解和運用，主要考查定積分的運算和二次方程的求解，以及判斷能力，屬于中檔題．