Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

24

=1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線l與雙曲線交于點(diǎn)A、B，若△ABF₂為等邊三角形，則△BF₁F₂的面積為（　�。�

• A、8
• B、8

  2

• C、8

  3

• D、16

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的定義算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等邊三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c=

7

a，可得a=2，即可求出△BF₁F₂的面積

解答： 解：根據(jù)雙曲線的定義，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等邊三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-

1

2

）=28a²，解之得c=

7

a，
∴a²+24=7a²，∴a=2，
∴△BF₁F₂的面積為S△BF1F2-S△ABF2=

1

2

×8×12×

3

2

-

3

4

×(4×2)2=8

3

．
故選：C．

點(diǎn)評：本題給出經(jīng)過雙曲線左焦點(diǎn)的直線被雙曲線截得弦AB與右焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．