Question

1-100C

1 10

+100² C

2 10

-100³ C

3 10

+…（-1）^k100^k C

k 10

+…+100¹⁰ C

10 10

除以97的余數(shù)是

54

．

Answer 1

分析：所給的式子即  （1-100）¹⁰=（97+2）¹⁰=

C

0 10

•9710•20+

C

1 10

•979•21+…+

C

9 10

•971•29+

C

10 10

•970•210．故展開(kāi)式中最后一項(xiàng)除以97的余數(shù)，即為所求

解答：解：由于1-100C

1 10

+100² C

2 10

-100³ C

3 10

+…（-1）^k100^k C

k 10

+…+100¹⁰=（1-100）¹⁰=（97+2）¹⁰ 
=

C

0 10

•9710•20+

C

1 10

•979•21+…+

C

9 10

•971•29+

C

10 10

•970•210．
顯然，展開(kāi)式中，除了最后一項(xiàng)外，其余的各項(xiàng)都能被97整除，故展開(kāi)式中最后一項(xiàng)除以97的余數(shù)，即為所求．
而展開(kāi)式中最后一項(xiàng)為1024，它除以97的余數(shù)為54，
故答案為 54．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，體現(xiàn)額轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．