Question

16．若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是函數(shù)f（x）和g（x）的圖象上任意一點(diǎn)，定義兩點(diǎn)間的距離|AB|的最小值為兩函數(shù)的“親密度”，則函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{e^x}，-2≤x＜-1}\\{e•f（{x-1}），x≥-1}\end{array}}$與g（x）=lnx的“親密度”為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)y=e^x和函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，關(guān)于直線y=x對稱．設(shè)直線y=x+t與y=e^x相切于點(diǎn)P（a，b），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)P，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：由題意，-1≤x＜0，-2≤x-1＜-1，f（x）=ef（x-1）=e^x，
0≤x＜1，-1≤x-1＜0，f（x）=ef（x-1）=e^x，
…
∴x≥-2時(shí)，f（x）=e^x．
函數(shù)y=e^x和函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，關(guān)于直線y=x對稱．由圖象可知：當(dāng)f（x）在點(diǎn)A處的切線和g（x）在點(diǎn)B處的切線都與y=x平行時(shí)，|AB|最小．設(shè)A（x₁，y₁），B（x2，y2），則y₁=${e}^{{x}_{1}}$，y₂=lnx₂，f′（x）=e^x，k1=${e}^{{x}_{1}}$=1，可得x₁=0，A（0，1）；g′（x）=$\frac{1}{x}$，k₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$=1，則x₂=1，B（1，0）
設(shè)直線y=x+t與y=lnx相切于點(diǎn)P（a，b），|AB|_min=$\sqrt{2}$
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了反函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．