Question

14．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，左、右焦點分別為F₁（（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．且雙曲線被直線x=-c所截得的弦長為6．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過F₂且傾斜角為135°的直線l交C于A，B兩點，求△F₁AB的面積．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線被直線x=-c所截得的弦長為6，得$\frac{^{2}}{a}$=3，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程：y=-（x-2）．由雙曲線方程與直線l方程消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出△F₁AB的面積．

解答 解：（1）x=-c時，y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∵雙曲線被直線x=-c所截得的弦長為6，
∴$\frac{^{2}}{a}$=3，
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線C的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由右焦點F₂（2，0），可得直線l方程：y=-（x-2）
代入雙曲線方程，消去y，得2x²+4x-7=0
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-2，x₁x₂=-$\frac{7}{2}$，y₁-y₂=-（x₁-x₂）
∴△F₁AB的面積S=c|y₁-y₂|=2||x₁-x₂|=2$\sqrt{4+4×\frac{7}{2}}$=6$\sqrt{2}$．

點評 本題考查求雙曲線的方程并探索焦點弦截得的三角形面積問題，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和直線與雙曲線位置關(guān)系等知識點，屬于中檔題．