Question

4．在四面體PABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且均相等，E是AB的中點，則異面直線AC與PE所成的角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知條件構(gòu)造正方體，以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AC與PE所成的角的大�。�

解答 解：∵四面體PABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且均相等，
∴構(gòu)造如圖所示的正方體，
以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，
設PA=2，則A（0，0，2），C（0，2，0），B（2，2，2），E（1，1，2），P（0，2，2），
$\overrightarrow{AC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{PE}$=（1，-1，0），
設異面直線AC與PE所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PE}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PE}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PE}|}$|=|$\frac{-2}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$．
∴異面直線AC與PE所成的角為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．