Question

如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）線段上是否存在點(diǎn)，使// 平面？若存在，求

出；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/06/17/03/2015061703321633428394.files/image188.gif'>，所以．                         

因?yàn)樗倪呅?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/06/17/03/2015061703321633428394.files/image125.gif'>為直角梯形，，，

所以四邊形為正方形，所以．

所以平面．    所以 ．……4分      

解：（Ⅱ）因?yàn)槠矫?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/06/17/03/2015061703321633428394.files/image196.gif'>平面，且 ，

所以平面，所以． 由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)槿�角�?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/06/17/03/2015061703321633428394.files/image201.gif'>為等腰直角三角形，所以，設(shè)，所以． 所以 ，平面的一個(gè)法向量為． 設(shè)直線與平面所成的角為，所以 ， 即直線與平面所成角的正弦值為．…8分      

（Ⅲ）存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面． 證明如下：由 ，，所以．

設(shè)平面的法向量為，則有所以   取，得．因?yàn)?，且平面，所以 // 平面． 即點(diǎn)滿足時(shí)，有// 平面．…………12分