已知函數(shù)f（x）=2ax2+bx-3a+1，當x∈[-4，4]時，f（x）≥0恒成立，則5a+b的最小值為
 
．
考點：函數(shù)恒成立問題
專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：由題意，f（0）≥0成立，所以a≤
1
3
，再分類討論，利用線性規(guī)劃知識求解，即可求出5a+b的最小值．
解答： 解：由題意，f（0）≥0成立，所以a≤
1
3
．
①0＜a≤
1
3
時，則問題等價于
-
b
4a
≤-4
f(-4)≥0
（1）或
-
b
4a
≥4
f(4)≥0
（2）或（3）f(-
b
4a
)≥0
（1）
16a-b≤0
29a-4b+1≥0
，對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點o（0，0）時，取得最小值0；

（2）
16a+b≤0
29a+4b+1≥0
對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點A（
1
35
，-
16
35
）時，取得最小值-
11
35


（3）24a2-8a+b2≤0，對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點B（
1
21
，-
12
21
）時，取得最小值-
1
3
；

a≤0時，問題等價于
f(-4)≥0
f(4)≥0
，
29a-4b+1≥0
29a+4b+1≥0
，對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點C（0，-
1
4
）時，取得最小值-
1
4
，

綜上，a=
1
21
，b=-
12
21
時，取得最小值-
1
3
．
故答案為：-
1
3
．
點評：本題考查恒成立，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為
.
z
，若（2+i）z=3-i，則z•
.
z
的值為（　�。�
A、1
B、2
C、
2
D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α為第三象限的角，且cosα=-
5
5
，則tanα=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

復(fù)數(shù)z=（1+2i）i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)
.
z
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（　�。�
A、（-2，1）
B、（2，-1）
C、（2，1）
D、（-2，-1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4，6}，B={2，4，5，6}，則∁I（A∩B）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x0是函數(shù)f（x）=
sinx
x
在（0，+∞）上的一個極值點，則下面正確的結(jié)論是（　�。�
A、tan（x0+
π
4
）=
1+x0
1-x0
B、tan（x0+
π
4
）=
x0+1
x0-1
C、tan（x0+
π
4
）=
1-x0
1+x0
D、tan（x0+
π
4
）=
x0-1
x0+1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)變量x，y滿足約束條件：
2x+y≥4
x-y≥1
x-2y≤2
，則z=|x-3y|+5|y|的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，已知c=4，A=
π
3
，且函數(shù)f（x）=sinx+cosx的最大值為f（C），則△ABC的周長等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(sinα，cosα)，
b
=(-2，1)，若
a
⊥
b
，則tanα的值為
 
．

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