Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點，若橢圓C的焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，以M為圓心，MF₁為半徑作圓M，當圓M與橢圓的右準線l有公共點時，求△MF₁F₂面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)焦距為2求出c的值，再由離心率為$\frac{1}{2}$可求出a的值，進而得到b的值，則橢圓方程可求；
（2）先設(shè)M的坐標為（x₀，y₀）根據(jù)題意滿足$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，再表示出直線l的方程，由圓M與l有公共點可得到M到l的距離4-x₀小于或等于圓的半徑R，整理可得到關(guān)系y₀²+10x₀-15≥0，再由$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$消去y₀，求出x₀的取值范圍，寫出△MF₁F₂面積后即可求出最大值．

解答 解：（1）∵2c=2，且$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1，a=2，
∴b²=a²-c²=3．
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)點M的坐標為（x₀，y₀），
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$．
∵F₁（-1，0），$\frac{{a}^{2}}{c}=4$，
∴直線l的方程為x=4．
由于圓M與l有公共點，
∴M到l的距離4-x₀小于或等于圓的半徑R．
∵R²=MF₁²=（x₀+1）²+y₀²，
∴（4-x₀）²≤（x₀+1）²+y₀²，
即y₀²+10x₀-15≥0．
又${{y}_{0}}^{2}=3（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，∴3-$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{4}$+10x₀-15≥0．
解得：$\frac{4}{3}≤{x}_{0}≤12$，又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，
∴$\frac{4}{3}≤{x}_{0}＜2$，當${x}_{0}=\frac{4}{3}$時，$|{y}_{0}|=\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴$（{S}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}）_{max}=\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{15}}{3}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點評 本題主要考查橢圓的標準方程及其簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓、圓與橢圓的交點問題，解答此題的關(guān)鍵在于不等式的轉(zhuǎn)化，屬難題．