Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=7，a₅+a₇=26
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=

1

a 2 n -1

（n∈N^*）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解之代入通項(xiàng)公式和求和公式可得；（2）由（1）可知b_n=

1

a 2 n -1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），由裂項(xiàng)相消法可得其和．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a₃=a₁+2d=7，a₅+a₇=2a₁+10d=26
聯(lián)立解之可得a₁=3，d=2，
故a_n=3+2（n-1）=2n+1
S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n；
（2）由（1）可知b_n=

1

a 2 n -1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
故數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，涉及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬中檔題．