Question

如圖，已知拋物線C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，過拋物線C上一點H（x，y）（y≥1）作兩條直線與⊙M相切于A、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點M到拋物線準線的距離為．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）當∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率；
（Ⅲ）若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用點M到拋物線準線的距離為，可得，從而可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）法一：根據(jù)當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），可得k_HE=-k_HF，設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-2y_H=-4，從而可求直線EF的斜率；
法二：求得直線HA的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求出E，F(xiàn)的坐標，從而可求直線EF的斜率；
（Ⅲ）法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直線HA的方程，直線HB的方程，從而可得直線AB的方程，令x=0，可得，再利用導數(shù)法，即可求得t的最小值．
法二：求以H為圓心，HA為半徑的圓方程，⊙M方程，兩方程相減，可得直線AB的方程，當x=0時，直線AB在y軸上的截距（m≥1），再利用導數(shù)法，即可求得t的最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵點M到拋物線準線的距離為=，
∴，∴拋物線C的方程為y²=x．（2分）
（Ⅱ）法一：∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴k_HE=-k_HF，
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），∴，∴，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．（5分）
∴．（7分）
法二：∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴∠AHB=60°，可得，，
∴直線HA的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
∵
∴，．（5分）
同理可得，，∴．（7分）
（Ⅲ）法一：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵，∴，
∴直線HA的方程為（4-x₁）x-y₁y+4x₁-15=0，
同理，直線HB的方程為（4-x₂）x-y₂y+4x₂-15=0，
∴，，（9分）
∴直線AB的方程為，
令x=0，可得，
∵，∴t關(guān)于y的函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當y=1時，t_min=-11．（12分）
法二：設點H（m²，m）（m≥1），HM²=m⁴-7m²+16，HA²=m⁴-7m²+15．
以H為圓心，HA為半徑的圓方程為（x-m²）²+（y-m）²=m⁴-7m²+15，①
⊙M方程：（x-4）²+y²=1．②
①-②得：直線AB的方程為（2x-m²-4）（4-m²）-（2y-m）m=m⁴-7m²+14．（9分）
當x=0時，直線AB在y軸上的截距（m≥1），
∵，∴t關(guān)于m的函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當m=1時，t_min=-11．（12分）
點評：本題以拋物線與圓的方程為載體，考查拋物線的標準方程，考查直線方程，同時考查利用導數(shù)法解決函數(shù)的最值問題，綜合性較強．