Question

已知函數(shù)f(x)＝ax－ln x，g(x)＝，它們的定義域都是(0，e]，其中e是自然對數(shù)的底e≈2.7，a∈R.

(1)當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)當(dāng)a＝1時，求證：f(m)>g(n)＋對一切m，n∈(0，e]恒成立；

(3)是否存在實數(shù)a，使得f(x)的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）1 （2）見解析 （3）見解析

【解析】【解析】
(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x－ln x.

所以f′(x)＝1－.

令f′(x)＝0，得x＝1.

當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(0,1)	1	(1，e]
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	1	?

 

所以當(dāng)x＝1時，f(x)min＝1.

(2)證明：由(1)知，當(dāng)m∈(0，e]時，

有f(m)≥1.

因為0<x≤e，所以g′(x)＝≥0，

即g(x)在區(qū)間(0，e]上為增函數(shù)，

所以g(x)≤g(e)＝＝<＝，

所以g(x)＋<＋＝1，

所以當(dāng)m，n∈(0，e]時，

g(n)＋<1≤f(m)．

所以f(m)>g(n)＋對一切m，n∈(0，e]恒成立．

(3)假設(shè)存在實數(shù)a，使f(x)的最小值是3，則

f′(x)＝a－＝.

①當(dāng)a≤時，因為0<x≤e，所以ax≤1，

所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，e]上為減函數(shù)．

所以當(dāng)x＝e時，fmin(x)＝ae－1＝3，

解得a＝(舍去)；

②當(dāng)a>時，

若0<x<時，f′(x)<0，f(x)在上為減函數(shù)；

若<x≤e時，f′(x)>0，f(x)在上為增函數(shù)．

所以當(dāng)x＝時，fmin(x)＝1－ln＝3，解得a＝e2.

所以假設(shè)成立，存在實數(shù)a＝e2，使得f(x)的最小值是3.