Question

6．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2且a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則1og₂（S₂₀₁₆+2）=2017．

Answer 1

分析 a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，變形為${a}_{n}-{2}^{n}$=-$（{a}_{n-1}-{2}^{n-1}）$，由a₁=2，可得a_n=2ⁿ．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，
∴${a}_{n}-{2}^{n}$=-$（{a}_{n-1}-{2}^{n-1}）$，
∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ．
∴S₂₀₁₆+2=2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+…+2+2=$\frac{{2}^{2017}-1}{2-1}$+1=2²⁰¹⁷，
∴1og₂（S₂₀₁₆+2）=2017．
故答案為：2017．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．