Question

已知向量

a

、

b

滿足|

a

|=2

2

，|

b

|=1，

a

•

b

=2，向量

c

滿足（

a

-

c

）（

b

-

c

）=0，則|

c

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，根據(jù)已知條件知，∠AOB=

π

4

，

CA

⊥

CB

，并且C點(diǎn)在以AB為直徑的圓上．若設(shè)AB中點(diǎn)為D，則當(dāng)C在OD連線上時|

OC

|最小，即|

c

|最小，所以根據(jù)余弦定理，正弦定理即可求出|OD|，|CD|，從而求出|OC|，即求出了|

a

|的最小值．

解答： 解：由已知條件知，向量

a

，

b

的夾角為

π

4

，并且向量(

a

-

c

)⊥(

b

-

c

)；
可設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，

a

-

c

=

CA

，

b

-

c

=

CB

，∴

CA

⊥

CB

，如圖所示：
C點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB中點(diǎn)為D；
∴當(dāng)C點(diǎn)在OD連線上時，|

OC

|最小，即|

c

|最��；
△OAB中，|OA|=2

2

，|OB|=1，∠AOB=

π

4

，所以：
|AB|2=8+1-2•2

2

•1•

2

2

=5；
∴|AB|=

5

；
由正弦定理，

5

sin π 4

=

1

sin∠OAB

；
∴sin∠OAB=

10

10

；
∴cos∠OAB=

3 10

10

；
∴在△OAD中，由余弦定理得，|OD|2=8+

5

4

-2•2

2

•

5

2

•

3 10

10

=

13

4

；
∴|OD|=

13

2

；
∴|OC|=|OD|-|CD|=

13

2

-

5

2

=

13 - 5

2

．
即|

c

|的最小值為

13 - 5

2

．
故答案為：

13 - 5

2

．

點(diǎn)評：考查數(shù)量積的運(yùn)算，直徑所對圓周角為

π

2

，以及正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合的方法解題．