Question

函數(shù)f（x）=

1-|x-1|，x∈[0，2] 1 2 (x-2)，x∈[2，+∞)

，則下列說(shuō)法中正確的是

②④

（只寫(xiě)序號(hào)）
①函數(shù)y=f（x）-ln（x+1）有3個(gè)零點(diǎn)；
②若x＞0，時(shí)，函數(shù)f（x）≤

k

x

恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[

3

2

，+∞）；
③函數(shù)f（x）的極大值中一定存在最小值；
④f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），對(duì)于一切x∈[0，+∞）恒成立．

Answer 1

分析：在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f（x）與y=ln（x+1）的圖象，判斷函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可判斷①；分析函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)坐標(biāo)中，橫縱坐標(biāo)積最大值，進(jìn)而可判斷②；根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象，可判斷函數(shù)f（x）的極大值無(wú)最小值，進(jìn)而可判斷③；利用數(shù)學(xué)歸納法，可證得f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），對(duì)于一切x∈[0，+∞）恒成立，進(jìn)而判斷④．

解答：解：f（x）=

1-|x-1|，x∈[0，2] 1 2 (x-2)，x∈[2，+∞)

的圖象如下圖所示：

∵函數(shù)y=f（x）與y=ln（x+1）的圖象只有兩個(gè)公共點(diǎn)，故函數(shù)y=f（x）-ln（x+1）有2個(gè)零點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；

函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)坐標(biāo)中，橫縱坐標(biāo)積最大的為（3，

1

2

）點(diǎn)，
若函數(shù)f（x）≤

k

x

恒成立，則k≥3×

1

2

=

3

2

，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[

3

2

，+∞），故②正確；
函數(shù)f（x）的極大值中一定不存在最小值，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=f（x）成立．
假設(shè)k=n時(shí)，f（x）=2ⁿf（x+2n），（n∈N）成立．
則k=n+1時(shí)，
2ⁿ⁺¹f[x+2（n+1）]=2ⁿ⁺¹f（x+2n+2）=2ⁿ⁺¹•

1

2

f（x+2n）=2ⁿf（x+2n）=f（x）
即此時(shí)f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N）仍成立，
故f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），對(duì)于一切x∈[0，+∞）恒成立，故④正確；
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)的極值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．