Question

雙曲線x²-y²=4，與過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．這樣的直線有

 

條．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），與雙曲線的方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為分類討論其解的情況，即可得出．

解答： 解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-

y2

4

=1，
由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立

x2-y2=4 y=k(x-1)

，
化為（1-k²）x²+2k²x-k²-4=0，
①當(dāng)1-k²=0時(shí)，解得k=±1，得到直線l：y=±（x-1），
分別與漸近線y=±x平行，因此與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；
②當(dāng)1-k²≠0時(shí)，由△=4k⁴-4（1-k²）（-k²-4）=0，
整理得k²=

4

3

，即k=±

2 3

3

．
得到直線l：y=±

2 3

3

（x-1），
此時(shí)直線l分別與雙曲線的右支相切，故只有一個(gè)交點(diǎn)．
綜上可知：過(guò)定點(diǎn)P（1，0）作直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的這樣的直線l只有4條．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立利用判別式，分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．