Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0＜?＜π）的圖象與直線y=b（-1＜b＜0）的三個相鄰交點的橫坐標分別是1，2，4．
（1）求f（x）的解析式，并寫出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（2x）+f（x），求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

解：（1）依題意得，周期T=4-1=3，所以，
由對稱性知，當=時，函數(shù)取得最小值-1，
∴
所以，
所以，所以．
∵y=sinx的單調(diào)減區(qū)間是[2kπ+，2kπ+]
∴
∴
∴
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是Z．
（2）由（1）知，
所以，
令，則根據(jù)余弦函數(shù)的值域得到t∈[-1，1]，
所以，
當t=-時，函數(shù)取得最小值-，當t=1時，函數(shù)取得最大值2，
所以g（x）的值域為．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象與橫軸的三個交點，做出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的對稱性看出函數(shù)的一個點的坐標，代入函數(shù)的解析式，求出初相的值，寫出函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的解析式寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)上一問做出的函數(shù)的解析式，寫出函數(shù)g（x）的解析式，對三角函數(shù)式進行化簡整理，得到關(guān)于余弦的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法得到結(jié)果．
點評：本題考查三角函數(shù)的解析式和有關(guān)性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是正確求出函數(shù)的解析式，再進行后面的單調(diào)區(qū)間和值域的求法，這種題目是高考卷中每一年都要出現(xiàn)，注意題目的開始解析式不要出錯，本題是一個中檔題目．