Question

4．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），B（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點P，Q，且$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$？若存在，求出該圓的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓經(jīng)過點A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），B（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），列出方程組，求出a，b，c，由此能求出橢圓E的離心率．
（2）橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，P（x₁，y₁），Q（x₂，y）．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，由根的判別式、韋達(dá)定理、向量垂直、點到直線距離公式，結(jié)合已知條件求出所求的圓為x²+y²=$\frac{4}{5}$．當(dāng)切線的斜率不存在時，該圓滿足條件，從而求出存在圓心在原點的圓x²+y²=$\frac{4}{5}$，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點P，Q，且$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$．

解答 解：（1）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），B（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓E的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）由（1）知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
①設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，P（x₁，y₁），Q（x₂，y）．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，
要使切線與橢圓恒有兩個交點P，Q，則使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0
即4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1，且$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kt}{1+4{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=$\frac{{k}^{2}（4{t}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}{t}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+t²=$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
要使$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{5{t}^{2}-4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=0，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，即4k²+4＜20k²+5恒成立．
又因為直線y=kx+t為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，r²=$\frac{{t}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{5}（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，所求的圓為x²+y²=$\frac{4}{5}$．
②當(dāng)切線的斜率不存在時，切線為x=±$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，
與$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1交于點（$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，±$\frac{2}{5}\sqrt{5}$）或（-$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，±$\frac{2}{5}\sqrt{5}$）滿足．
綜上，存在圓心在原點的圓x²+y²=$\frac{4}{5}$，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點P，Q，且$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的圓是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、向量垂直、點到直線距離公式、橢圓等知識點的合理運用．