Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且Sn=

3

2

(an-1)(n∈N+)．
（1）求a₁的值，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

an

(an+1)(an+1+1)

(n∈N+)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：Tn+

1

6an+2

(n∈N+)為定值．

Answer 1

分析：（1）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由Sn=

3

2

(an-1)(n∈N+)，能求出a₁的值，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由a_n=3ⁿ，推導(dǎo)出bn=

1

2

(

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能夠證明：Tn+

1

6an+2

(n∈N+)為定值．

解答：解：（1）∵Sn=

3

2

(an-1)(n∈N+)，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=

3

2

(a1-1)，
解得a₁=3．
a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)，
整理，得a_n=3a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3ⁿ．
（2）∵a_n=3ⁿ，
∴bn=

an

(an+1)(an+1+1)

=

3n

(3n+1)(3n+1+1)

=

1

2

(

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)
∴Tn=

1

2

(

1

3+1

-

1

32+1

+

1

32+1

-

1

33+1

+…+

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)
=

1

2

(

1

3+1

-

1

3n+1+1

)=

1

8

-

1

6×3n+2

，
∴Tn+

1

6an+2

=

1

8

-

1

6×3n+2

+

1

6×3n+2

=

1

8

，
∴Tn+

1

6an+2

(n∈N+)為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要注意構(gòu)造法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．