Question

16．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，a_n+1（a_n+1-2）=a_n（a_n+2）且S₃=12．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2（a_n+1+a_n），又a_n＞0，得a_n+1-a_n=2，可得數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的通項公式得答案；
（Ⅱ）把求數(shù)列{a_n}的通項公式代入$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，然后利用裂項相消法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 （Ⅰ）證明：由a_n+1（a_n+1-2）=a_n（a_n+2），得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}=2{a}_{n+1}+2{a}_{n}$，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2（a_n+1+a_n），
又a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，則a_n+1-a_n=2．
∴數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列．
又S₃=12，∴3a₁+6=12，得a₁=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，$_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n×2（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{4n+4}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．