已知數(shù)列{
an
λn
-(
3
λ
)n}是等差數(shù)列，公差為2，a1，=11，an+1=λan+bn．
（I）用λ表示bn；
（II）若
lim
n→∞
bn+1
bn
=4，且κ≥3，求λ的值；
（III）在（II）條件下，求數(shù)列{an}的前n項和．
（I）因為數(shù)列{
an
λn
-(
3
λ
)n}是等差數(shù)列，公差為2所以
an+1
λn+1
-
3n+1
λn+1
=
an
λn
-
3n
λn
+2?an+1=λ•an+3n+1+2λn+1-λ•3n
∴bn=3n+1+2λn+1-λ•3n=2λn+1+3n（3-λ）??
（II）又
lim
n→∞
bn+1
bn
=
lim
n→∞
2λn+2+3n+1(3-λ)
2λn+1+3n(3-λ)
當(dāng)λ=3時，
lim
n→∞
bn+1
bn
═λ=3，
與已知矛盾，
∴λ≠3
當(dāng)λ＞3時，
lim
n→∞
bn+1
bn
=
lim
n→∞
2λ+(3-λ)(
3
λ
)n+1
2+
3-λ
λ
(
3
λ
)n
=λ=4
∴λ=4
（III）由已知當(dāng)λ=4時，
an
4n
=
3n
4n
=
11-3
4
+2(n-1)=2n?an=2n•4n+3n
令An=2×4+4×42+6×43++2n×4n=
8
9
+
6n-2
9
×4n+1Bn=3+32+33++3n=
3n+1
2
-
3
2

∴數(shù)列{an}的前n項和Sn=An+Bn=
8
9
+
6n-2
9
×4n+1+
3n+1
2
-
3
2
=-
11
18
+
3n+1
2
+
6n-2
9
×4n+1
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列，且滿足a1=2，an+1=3an-2n+1，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•韶關(guān)模擬）已知數(shù)列{an} (n∈N*)滿足：a1=1，an+1-sin2θ•an=cos2θ•cos2nθ，其中θ∈(0，
π
2
)．
（1）當(dāng)θ=
π
4
時，求{an}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，若數(shù)列{bn}中，bn=sin
πan
2
+cos
πan-1
4
(n∈N*，n≥2)，且b1=1．求證：對于?n∈N*，1≤bn≤
2
恒成立；
（3）對于θ∈(0，
π
2
)，設(shè){an}的前n項和為Sn，試比較Sn+2與
4
sin22θ
的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等比數(shù)列，且an＞0，a1=2，a3=8，
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求證：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜1；
（3）設(shè)bn=2log2an+1，求數(shù)列{bn}的前100項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和為Sn，數(shù)列{
Sn
n
}是首項為0，公差為
1
2
的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，對任意的正整數(shù)k，將集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為dk，求dk；
（3）對（2）題中的dk，設(shè)A（1，5d1），B（2，5d2），動點M，N滿足
MN
=
AB
，點N的軌跡是函數(shù)y=g（x）的圖象，其中g(shù)（x）是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，3]時，g（x）=lgx，動點M的軌跡是函數(shù)f（x）的圖象，求f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和為Sn，數(shù)列{
Sn
n
}是首項為0，公差為
1
2
的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，對任意的正整數(shù)k，將集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為dk，求證：數(shù)列{dk}為等比數(shù)列；
（3）對（2）題中的dk，求集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素個數(shù)．

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