Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＞0，a_n＋1＝2－|a_n|，n∈N^*．

（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，求a₁的值；

（Ⅱ）是否存在a₁，使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a₁；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a₁＞0，∴a₂＝2－|a₁|＝2－a₁，a₃＝2－|a₂|＝2－|2－a₁|．

當(dāng)0＜a₁≤2時，a₃＝2－(2－a₁)＝a₁，∴a＝(2－a₁)²，解得a₁＝1．

當(dāng)a₁＞2時，a₃＝2－(a₁－2)＝4－a₁，∴a₁(4－a₁)＝(2－a₁)²，解得a₁＝2－（舍去）或a₁＝2＋．

綜上可得a₁＝1或a₁＝2＋．

（Ⅱ）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則

由2a₂＝a₁＋a₃，得2(2－a₁)＝a₁＋(2－|2－a₁|)，即|2－a₁|＝3a₁－2．

當(dāng)a₁＞2時，a₁－2＝3a₁－2，解得a₁＝0，與a₁＞2矛盾；

當(dāng)0＜a₁≤2時，2－a₁＝3a₁－2，解得a₁＝1，從而a_n＝1（n∈N^*），此時{a_n}是一個等差數(shù)列；

綜上可知，當(dāng)且僅當(dāng)a₁＝1時，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．