設(shè)a、b、c∈R,證明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0,并指出等號成立的   條件.

證明:左邊整理成關(guān)于a的二次式

f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+3bc.

作f(a)=0的判別式，得

Δ=(c+3b)2－4(c2+3b2+3bc)=－3(c2+b2+2bc)=－3(b+c)2≤0,

∴f(a)≥0成立.

當Δ=0時，等號成立,即b+c=0,這時，

f(a)=a2+ac+c2+3ab=a2+2ab+b2=(a+b)2=0.

∴a=－b=c.


解析:

在比較法、綜合法無效時，如果能整理成關(guān)于某函數(shù)的二次式f(a)＞0或f(a)＜0時，可考慮用判別式法.

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩點M（0，1）N（0，-1），平面上動點P（x，y）滿足|
NM
|•|
MP
|+
MN
•
NP
=0．
（Ⅰ）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（0，m），R（0，-m）（m≠0）是y軸上兩點，過Q作直線與曲線C交于A、B兩點，試證：直線RA、RB與y軸所成的銳角相等；
（Ⅲ）．在Ⅱ的條件中，若m＜0，直線AB的斜率為1，求△RAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：離心率e=
5
-1
2
的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1（-c，0）、F2（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）設(shè)E為“黃金橢圓”，問：是否存在過點F2、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足
RP
=-2
PF2
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)E為“黃金橢圓”，點M是△PF1F2的內(nèi)心，連接PM并延長交F1F2于N，求
|PM|
|PN|
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)a,b,c∈R+，試證

.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河南省信陽市新縣高中高二（上）12月月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

定義：離心率的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓的兩個焦點分別為F1（-c，0）、F2（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）設(shè)E為“黃金橢圓”，問：是否存在過點F2、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)E為“黃金橢圓”，點M是△PF1F2的內(nèi)心，連接PM并延長交F1F2于N，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年北京市順義區(qū)高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知兩點M（0，1）N（0，-1），平面上動點P（x，y）滿足．
（Ⅰ）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（0，m），R（0，-m）（m≠0）是y軸上兩點，過Q作直線與曲線C交于A、B兩點，試證：直線RA、RB與y軸所成的銳角相等；
（Ⅲ）．在Ⅱ的條件中，若m＜0，直線AB的斜率為1，求△RAB面積的最大值．

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