Question

定義：離心率的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）設(shè)E為“黃金橢圓”，問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)F₂、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)E為“黃金橢圓”，點(diǎn)M是△PF₁F₂的內(nèi)心，連接PM并延長(zhǎng)交F₁F₂于N，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用反證法，可得a，b，c成等比數(shù)列，與已知矛盾；
（2）假設(shè)直線l的方程，求出P的坐標(biāo)，代入橢圓方程，可得，與k²≥0矛盾；
（3）設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑，利用等面積，可得，由此可求的值．
解答：（1）證明：假設(shè)E為黃金橢圓，則，∴．…（1分）
∴．…（3分）
即a，b，c成等比數(shù)列，與已知矛盾，故橢圓E一定不是“黃金橢圓”．…（4分）
（2）解：依題意，假設(shè)直線l的方程為y=k（x-c）．
令x=0有y=-kc，即點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0，-kc）．
∵，∴點(diǎn)F₂（c，0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2c，kc）．…（6分）
∵點(diǎn)P在橢圓上，∴．
∵b²=ac，∴4e²+k²e=1．
∴，與k²≥0矛盾．
∴滿足題意的直線不存在．…（8分）
（3）解：連接MF₁，MF₂，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r．
則=
即=
==
∴…（10分）
∴
∴
∴…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查反證法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用新定義是關(guān)鍵．