Question

（本小題滿分15分）
已知橢圓C：＋＝1的離心率為，左焦點為F(－1，0)，
(1) 設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點，若，求直線L的方程；
(2)橢圓C上是否存在三點P，E，G，使得S_△OPE＝S_△OPG＝S_△OEG＝？

Answer 1

(1) 和； (2) 橢圓上不存在滿足條件的三點

解析試題分析：(1) 由已知 可解得 ，即橢圓方程為 。可得 。根據(jù)點斜式可得直線即直線方程為，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系。再根據(jù)可求得的值，即可得所求直線方程。 (2)根據(jù)兩點確定一條直線可設(shè)兩點確定的直線為 l，注意討論直線的斜率存在與否，用弦長公式可得的長，用點到線的距離公式可得點到線的距離，從而可得三角形面積。同理可得另兩個三角形面積，聯(lián)立方程可得三點橫縱坐標(biāo)的平方，根據(jù)三點坐標(biāo)判斷能否與點構(gòu)成三角形，若能說明存在滿足要求的三點否則說明不存在。
試題解析：(1)由題意：橢圓的方程為.
設(shè)點，由得直線的方程為．
由方程組消去，整理得，
可得，.
因為，
所以
由已知得，解得.
故所求直線的方程為：和
(2) 假設(shè)存在滿足.
不妨設(shè)兩點確定的直線為 l，
(ⅰ)當(dāng)直線l的斜率不存在時，兩點關(guān)于軸對稱，
所以，
因為在橢圓上，所以.①
又因為，所以|，②
由①、②得，
此時，.
(ⅱ)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，
由題意知，將其代入得
，
其中，
即，(★)
又，
所以.
因為點到直線l的距離為，
所以.
又，
整理得 ，且符合(★)式．
此時，