Question

△ABC的三邊a、b、c和面積S滿(mǎn)足關(guān)系式：S=c²-（a-b）²且a+b=2，求面積S的最大值．

Answer 1

解：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC及面積公式S=absinC代入條件得
S=c²-（a-b）²=a²+b²-2abcosC-（a-b）²，即absinC=2ab（1-cosC），
∴=，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）
由（1-k）²+（4k）²=cos²C+sin²C=1，得k=，
∴sinC=4k=
∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴S=absinC=ab≤•=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，S_max=
分析：利用余弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)S=c²-（a-b）²后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，然后根據(jù)a+b=2，利用基本不等式即可求出面積S的最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道中檔題．