Question

【題目】已知橢圓 (常數(shù)a，b>0，且a>b)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，M，N為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且四邊形F1MF2N是面積為4的正方形．

(1)求橢圓的方程；

(2)過(guò)原點(diǎn)且斜率分別為k和－k(k≥2)的兩條直線與橢圓的交點(diǎn)為A、B、C、D(按逆時(shí)針順序排列，且點(diǎn)A位于第一象限內(nèi))，求四邊形ABCD的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由四邊形F1MF2N是面積為4的正方形，可得關(guān)于a,b的方程組，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)A(x，y)，求出A點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)題意設(shè)直線圖象與橢圓的對(duì)稱性，知,結(jié)合均值不等式即可得到四邊形ABCD的面積S的最大值．

試題解析：

(1)依題意得∴所求橢圓方程為＋＝1.

(2)設(shè)A(x，y)，由得A(，)，

根據(jù)題設(shè)直線圖象與橢圓的對(duì)稱性，知S＝4××＝(k≥2)，

∴S＝(k≥2),

設(shè)M(k)＝2k＋，則M ′(k)＝2－，當(dāng)k≥2時(shí)，M ′(k)＝2－>0，

∴M(k)在k∈[2，＋∞)時(shí)單調(diào)遞增，∴M(k)min＝M(2)＝， 所以當(dāng)k≥2時(shí)，Smax＝＝.