Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{1-{a^2}}}=1$，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A（-1，0）．B（1，0）的距離之比為$\sqrt{2}$，點(diǎn)B到直線PA的距離為1．
（1）求直線PB的方程；
（2）求證：直線PB與橢圓C相切；
（3）F₁、F₂分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，直線PB與橢圓C相切于點(diǎn)M，直線MF₂交y軸于點(diǎn)N，求∠MF₁N．

Answer 1

分析 （1）確定∠BAC=30°，利用正弦定理得$sin∠PBA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即直線PB的傾斜角為45°或135^°．即可求直線PB的方程；
（2）將y=x-1代入橢圓方程，求得方程的根，即可證明：直線PB與橢圓C相切；
（3）證明MF₁⊥NF₁，故∠MF₁N=90°．

解答 （1）解：過(guò)B作PA的垂線，垂足為C，
|AB|=2，|BC|=1知，∠BAC=30°…（1分）
在△PAB中，由正弦定理得，$\frac{{|{PA}|}}{sin∠PBA}=\frac{{|{PB}|}}{sin∠PAB}$…（2分）
∵$\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}=\sqrt{2}$，∴$sin∠PBA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即直線PB的傾斜角為45°或135°，…（3分）
∴直線PB的方程是y=x-1或y=-x+1．…（4分）
（2）證明：若PB方程為y=x-1，將y=x-1代入橢圓方程得，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（x-1）^{2}}{1-{a}^{2}}=1$，
整理得，x²-2a²x+a⁴=0，解得，${x_1}={x_2}={a^2}$，…（7分）
所以直線y=x-1與橢圓C相切，同理直線y=-x+1與橢圓C也相切．…（8分）
（3）解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)M（x₀，y₀），由（1）知${x_0}^2={a^4}$，${y_0}^2={（{a^2}-1）^2}$，
設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中c²=a²-（1-a²）=2a²-1，
又設(shè)N（0，y），則$\frac{y-0}{0-c}=\frac{{{y_0}-0}}{{{x_0}-c}}$，$y=-\frac{{c{y_0}}}{{{x_0}-c}}$，…（10分）
${k_{M{F_1}}}•{k_{N{F_1}}}=\frac{{{y_0}-0}}{{{x_0}+c}}×\frac{y-0}{0+c}=-\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{c^2}}}$
=$-\frac{{{{（{a^2}-1）}^2}}}{{{a^4}-（2{a^2}-1）}}=-1$…（12分）
∴MF₁⊥NF₁，故∠MF₁N=90°…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．