20.已知函數(shù)f(x)=1+x-$\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^3}{3}$-$\frac{x^4}{4}$+…-$\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$,g(x)=ln|x|+|x|-2,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x-1)g(x+1),且函數(shù)F(x)的零點(diǎn)都在區(qū)間[a,b](a<b,a∈Z,b∈Z)內(nèi),則b-a的最小值為(  )
A.6B.7C.9D.10

分析 求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,從而求出其零點(diǎn)的范圍,求出f(x-1)的零點(diǎn)所在的范圍;通過(guò)討論x的范圍,求出g(x)在(0,+∞)的導(dǎo)數(shù),得到g(x)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的奇偶性求出所有零點(diǎn)所在的區(qū)間,從而求出g(x+1)所在的零點(diǎn)的范圍,進(jìn)而求出a,b的值,求出答案即可.

解答 解:∵f′(x)=1-x+x2-x3+…-x2015=$\frac{1{-x}^{2016}}{1+x}$,
令f′(x)>0,解得:x<1且x≠-1,令f′(x)<0,解得:x>1,
∴f(x)在(-∞,-1)遞遞增,在(-1,1)遞增,在(1,+∞)遞減,
而f(0)=1>0,f(-1)=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2016}$<0,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有零點(diǎn),
f(1)=1+(1-$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$)+…+($\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$)>0,
f(2)=1-23($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)-25($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$)-27($\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$)-…-22015($\frac{1}{1008}$-$\frac{1}{2015}$)<0,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn),
故函數(shù)f(x)在(-1,2)有2個(gè)零點(diǎn),
∴-1<x-1<2,∴0<x<3;
g(x)=ln|x|+|x|-2,
當(dāng)x>0時(shí),g(x)=lnx+x-2,g′(x)=$\frac{1}{x}$+1>0,
∴g(x)在(0,+∞)遞增,
而g(1)=-1<0,g(2)=ln2>0,
∴x>0時(shí),g(x)在(1,2)存在唯一零點(diǎn),
∵g(x)是偶函數(shù),
∴g(x)在(-∞,0)遞減,
而g(-1)=-1<0,g(-2)=ln2>0,
∴x<0時(shí),g(x)在(-2,-1)存在唯一零點(diǎn),
∴g(x)在(-2,2)存在零點(diǎn).
∴-2<x<2,∴-2<x+1<2,即-3<x<1,
綜上-3<x<3,
∴a=-3,b=3,b-a=6,
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題,考查函數(shù)的奇偶性問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)列求和問(wèn)題,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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16.已知a≥2${∫}_{0}^{\frac{π}{3}}$sinxdx,曲線(xiàn)f(x)=ax+$\frac{1}{a}$ln(ax+1)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)的斜率為k,則k的最小值為( 。
A.1B.$\frac{3}{2}$C.2D.3

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11.如圖,把等腰直角三角形ABC以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn),使C點(diǎn)移動(dòng)的距離等于AC時(shí)停止,并記為點(diǎn)P.
(1)求證:面ABP⊥面ABC;
(2)求二面角C-BP-A的余弦值.

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8.如圖,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且$∠BCD=∠BCE=\frac{π}{2}$,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2
(Ⅰ)證明:AG∥平面BDE;
(Ⅱ)求平面BDE和平面BAG所成銳二面角的余弦值.

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15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα+cosα\\ y=1+sin2α\end{array}\right.$(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$,曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$acos(θ-$\frac{3π}{4}$)(a>0).
(I)求直線(xiàn),與曲線(xiàn)C1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)(P,θ)(p≥0,0≤θ<2π).
(Ⅱ)若直線(xiàn)l與C2相切,求a的值.

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5.設(shè)函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}a+{2^{-x}},\;\;\;x≤0\\ f(x-1),\;x>0\end{array}$,記g(x)=f(x)-x,若函數(shù)g(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,+∞).

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12.一錐體的三視圖如圖所示,設(shè)該棱錐的最長(zhǎng)棱和最短棱的棱長(zhǎng)分別為m,n,則$\frac{m}{n}$等于( 。
A.$\frac{\sqrt{33}}{4}$B.$\frac{\sqrt{41}}{3}$C.$\frac{\sqrt{41}}{4}$D.$\frac{\sqrt{33}}{3}$

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9.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3,S9,S6成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的公比q;
(2)試問(wèn)a4與a7的等差中項(xiàng)是數(shù)列{an}中的第幾項(xiàng)?
(3)若a1=1,求數(shù)列{na3n-2}(n∈N+)的前n項(xiàng)和.

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10.在公差為2的等差數(shù)列{an}中,若a2=1,則a5的值是7.

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