Question

16．已知a≥2${∫}_{0}^{\frac{π}{3}}$sinxdx，曲線f（x）=ax+$\frac{1}{a}$ln（ax+1）在點（1，f（1））處的切線的斜率為k，則k的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 運用定積分公式，計算可得a≥1，求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求最小值．

解答 解：由2${∫}_{0}^{\frac{π}{3}}$sinxdx=2•（-cosx）|${\;}_{0}^{\frac{π}{3}}$=-2（cos$\frac{π}{3}$-cos0）=2×$\frac{1}{2}$=1，
即有a≥1，
f（x）=ax+$\frac{1}{a}$ln（ax+1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a+$\frac{1}{a}$•$\frac{a}{ax+1}$
=a+$\frac{1}{ax+1}$，
可得k=a+$\frac{1}{a+1}$，
由a+1≥2，可得k=（a+1）+$\frac{1}{a+1}$-1≥2+$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$．
即有a=1時，k取得最小值$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查定積分的運算，以及函數(shù)的單調(diào)性的運用：求最值，屬于中檔題．